[细说统计]之-统计基础(2)

统计学中的假设检验，是一种基于概率的反证法，我们称之为“小概率反证法”。与数学上的反证法不同，用假设检验的方法证明了的命题，也有可能是错误的。

用假设检验的方法，证明小明同学作弊了，需要分三步走：

Step 1：明确两个假设（命题），并明确冤枉小明的概率大小

H0(无效假设)：小明没有作弊

H1(备择假设)：小明作弊了

检验水准：α=0.05（当拒绝H0、接受H1时，犯错的概率，即冤枉小明的概率）

Step 2：基于小明没有作弊这一假设，计算在这个假设成立的情况下，获得当前信息（即样本）的概率

既然是反证法，当然要基于小明没有作弊（即H0）去做推演。

在这一步骤中，根据已经收集的信息（即样本数据），计算出统计量的大小，再根据统计量的分布，求出相应的P值：如果小明没有作弊，那么获得这些信息的概率有多大。

比如，我们计算出统计量t的值，利用t分布就可求得相应的P值。

当然，有时概率P可以直接计算，如Fisher确切概率法，就没有统计量。​

Step 3：根据统计量对应的P值作出推断

在数学上，从H0出发进行推演，若证明H0这个命题是假的，则证明了H1为真，因为H0与H1互相对立，其中必有一真一假。而假设检验，则是根据P≤α 则拒绝H0、接受H1这个规则，进行H0与H1真伪的判断。

比如，根据统计量t的值，我们得到的P值为0.05，这时我们就可以下结论：小明作弊了（拒绝H0、接受H1）。这里的逻辑就是：这个概率P是基于H0-小明没有作弊得到的，既然小明没有作弊时，获得这个样本的概率这么小，那么按照小概率事件原则，这种情况是不太可能出现的，所以我们就推测，可能是前提条件即H0为真是错误的，我们理应接受H1，基于这个逻辑，证明小明作弊了。当然在理论上，H0并不是100%的错，而是很有可能是错误的。

这就是利用假设检验的方法，证明小明作弊与否的步骤。

要是得到的P值大于α--“小明没有作弊”这个命题还不够那么假，那我们就不能拒绝H0。不拒绝H0，我们也不会接受H0，不会认为他没作弊。Why？因为我们的目的，就是要证明他作弊了（假设检验就是要证明H1为真）。现在的情况是没能证明他作弊，可能是我们掌握的信息量还是太小。只要掌握的信息量足够大，我们就一定能用假设检验的方法证明他作弊了:-)，因为绝大多数情况下，P值会随着信息量的增大而减小。

在假设检验过程中，α就像一把尺子，让我们做出推断：

-- 若统计量对应的p值≤α，我们的推断就是：H0为假、H1为真。

虽然α很小（常用0.05，这就是统计中小概率事件的概率水平--我们认为在一次抽样中，小概率事件不太可能发生），但毕竟这个α不是0，多次基于α这把尺子，拒绝H0（接受H1为真），犯错的水平就是α。当α=0.05时，我们拒绝H0若有100次，其中就可能有5次是错的，即H0为真但被拒绝了-小明被冤枉了。

这就是统计学中做证明题的方式：​假设检验方法，用一个小概率值α作为判断命题真伪的尺度，这把尺子多数情况下Ok，少数情况会犯错。所谓，常在河边走, 哪有不湿鞋？这把尺子本身所具有的特性，就决定了用它进行度量的结果。因为它是冤枉小明的概率大小，对于我们而言，不冤枉一个好人，远比不放过一个坏人更重要，所以，假设检验要规定α而且它的值要很小。至于为什么α常用0.05，或0.01这样的水平，则是一种约定俗成（当初老大拍脑门定了个0.05的概率水平，一直沿用至今。。。）