6.1 两个计量资料的简单线性回归分析

最后更新：2024-06-21

简单线性回归(simple linear regression)，用于分析两个计量资料在数值上的线性依存关系，也称简单回归。

回归分析，本质上是应变量与自变量之间因果关系在数值上的线性拟合，而这种因果关系并不能由统计学来确定，比如本教程中的皮肤癌死亡率与纬度之间的关系，如果我们将纬度作为应变量，而皮肤癌的死亡率作为自变量，进行简单线性回归分析，所建立的模型依然有统计学意义，但其实际意义或专业意义却是荒谬的。

所以，进行回归分析，科学合理地确定自变量及应变量，是研究者的一项重要工作。

应用场景：

有1个应变量（为计量资料），有1个自变量（一般为计量资料，当然并不严格限制），研究因（自变量）对果（应变量）的线性影响。

前提条件：

两变量进行简单线性回归分析的前提条件，是满足LINE假定：

• L (Linear)：应变量的均值$\mu_{Y|X}$与自变量间应存在线性关系；
• I (Independent)：个体观察值之间相互独立；
• N (Normality)：Y服从总体均数为$\mu_{Y|X}$、方差为$\sigma^{2}$的正态分布；
• E (Equality)：不同X所对应的Y的总体等方差（各总体的方差$\sigma^{2}$相等）

【例】皮肤癌死亡率与纬度的线性关系

上世纪50年代收集的美国 49 个州中心位置的经、纬度，以及各州的皮肤癌死亡率（死因别死亡率）等数据，如下表所示：

注：

• 上表报告的死亡率数据，为每 1000 万人的死亡人数；

• 本例数据引自宾夕法尼亚州立大学埃伯利科学学院统计系网络课程STAT 462：2.1 - What is Simple Linear Regression? ；

• 本数据不是随机抽样取得，并非真正的样本数据，进行统计推断不是十分合适，此处仅用于演示目的。

试分析皮肤癌的死亡率与纬度之间的关系。

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对于本例，皮肤癌原因的死亡率与纬度的关系，可以先绘制一个散点图，观察两者在数量上的趋势特征，然后再根据情况进行下一步操作。

1. 建立数据集

下载的数据中有对应变量的名称（第1行），我们予以保留，所建SPSS数据集如下图所示：

变量视图如下：

当然，对于本例，实际只需Lat（纬度）和Mort（皮肤癌死亡率）这两个数据。

2. 绘制散点图

绘制散点图的操作参见：用SPSS绘制常用的统计图。

以皮肤癌死亡率（每 1000 万人的死亡数）为纵坐标，纬度为横坐标，绘制的散点图如下：

可以看出，皮肤癌死亡率与纬度之间具有明显的线性趋势，基于不同纬度地区常年的阳光、紫外线等因素，可能对皮肤癌的发生产生影响，以皮肤癌死亡率为应变量，纬度为自变量，进行简单线性回归分析。

3. 简单线性回归分析操作

选择分析菜单中的回归分析【Regression】中的【Linear】，

定义线性回归模型，将应变量皮肤癌死亡率（Mort变量）放入Dependent框中，将自变量纬度（Lat变量）放在Independent列表中，

设置好线性模型的应变量与自变量后，上图中的【OK】即被激活，其它设置均保持默认（不做其它设置的操作）的情况下，点击【OK】即可输出统计结果。

4. 结果解读

线性回归分析，主要的工作包括：线性回归方程的求解、回归模型与参数的假设检验、回归模型的拟合优度评价、回归模型的诊断等工作。

本例，（SPSS 23 64位）输出的统计结果中共包含4个表格，后3个是我们所需要的，按照上述线性回归分析主要工作的顺序，分述如下：

• 线性回归方程的求解

  根据Coefficients表：

  

  可得到线性回归方程：

  $\hat{Mart} = 389.189~-~5.978\times Lat$

• 回归模型与参数的假设检验

  根据ANOVA表：

  

  由模型的方差分析结果：$F=99.797~,~P=.000$，可推断上述线性回归模型有统计学意义，说明不同地区皮肤癌死亡率与纬度之间存在着线性回归关系。

  根据Coefficients表：

  

  由模型回归系数的t检验结果：$t=-9.990~,~P=.000$，可推断模型的回归系数不应为0，说明不同地区皮肤癌死亡率与纬度之间存在着线性回归关系。

  注意：在两个变量的简单线性回归分析中，方差分析结果与t检验结果是完全等价的，即P值完全相同。

• 模型的拟合优度

  根据Model Summary表：

  

  决定系数$R^{2}=0.680$，（因模型有统计学意义）可认为美国不同地区皮肤癌死亡率的差异，68%源于各地区中心位置的纬度不同。

简单线性回归模型的诊断

数据是否满足LINE假定，可通过绘制残差（$\epsilon=Y-\hat{Y}$）图的方法验证。

SPSS中的操作如下：

在线性回归分析的对话框中，点击【Plots】按钮，将标准化的预测值*ZPRED（即$\hat{Y}$）放到X坐标，将标准化的残差*ZRESID放到Y坐标，如果想查看残差的分布情况，可把左下角的Histogram也点选上：

设置好【Plots】选项后，点击【Continue】按钮，再点击回归对话框中的【OK】按钮，生成残差的直方图以及残差图：

直方图显示，标准化之后的残差呈近似的正态分布，分布位置在0附近，符合线性回归对残差的要求。

上图为残差图，残差比较均匀地分布在参考线 $Y=0$ 上下两侧，且未呈现任何特定的趋势，故可判定本例数据满足线性回归分析的条件。

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