6.4 二分类资料的Logistic回归分析
最后更新：2024-11-20
Logistic回归分析以计数资料为应变量（$Y$），研究一个或多个自变量与结局$Y$之间的因果关系。
若$Y$为二分类变量（如糖尿病的发病与未发病，等等），使用数字1编码阳性结局，如发病，0编码阴性结局（对应未发病），$\pi$ 为 $y=1$的概率，则Logistic回归模型可表示为： $$ ln( \frac{\pi}{1-\pi}) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_kX_k $$
Logistic回归模型与一般线性模型的区别，是对结局变量进行了logit变换： $$ logit(\pi) = ln( \frac{\pi}{1-\pi}) $$ 并用这个链接函数$logit(\pi)$（而不是直接使用$\pi$的对数值）与各自变量建立线性关系，因此，它是一种广义线性模型（Generalized Linear Model，GLEM）。
应用场景
一个应变量为计数资料（常用二分类，也可以是多分类），多个自变量（不限制资料类型），研究应变量$Y$与自变量之间的因果关系，从而确定自变量对应变量有无影响及影响的程度。
前提条件
- 观察值（observations）之间相互独立
- 链接函数（$logit(\pi)$）与各自变量之间具有线性关系
- 各自变量之间相关性不强（即不存在严重的多重共线性问题）
另外，进行logistic回归分析，通常所需的样本量较大。
【实例】冠状动脉重度狭窄的危险因素分析
我们使用杜克大学心血管疾病数据库的一个公开数据集（ACATH，由范德堡大学生物统计学系的 Frank Harrell 慷慨提供），对冠状动脉重度狭窄（定义为至少一条重要的冠状动脉狭窄程度 $\ge 75 \% $）的危险因素，如性别、年龄、胸痛持续时间、胆固醇水平等进行分析。
剔除原数据集中存在缺失记录的观察值，最终的数据集包含2258条记录，如下图所示：
其中的变量：
- sex：性别，1示female，0示male
- age：年龄
- dur：胸痛持续时间
- choleste：胆固醇水平
- sigdz：结局变量，1表示冠状动脉严重狭窄，即冠状动脉严重狭窄，即至少一条重要的冠状动脉狭窄程度 $\ge 75% $
注意：这个数据集收集的，是因胸痛而转诊到杜克大学医学中心的患者，（样本中）冠脉重度狭窄的发生率很高，但这个发生率，不能代表一般人群的冠脉重度狭窄的发生率，因此，基于此数据集进行的分析，无论是否剔除缺失数据，结论均不能直接推论到一般人群。
1、Logistic回归分析操作
选择回归分析中的二分类Logistic回归：
将应变量填入dependent列表，将自变量全部放入Covariates列表中，并设置自变量中的分类变量，
这里只有性别是二分类变量，所以只需将sex放入Categorical Covariates列表中。
需要注意的是：在对话框的底部，有一个Reference Category的设置选项，默认是选定Last，意为：以性别中的最后一个编码值，也就是最大值（1）为参照，计算0 vs 1（也即 男 vs 女）的OR值，如果我们选择了First（必须点击Change按钮使设置生效），则以0为参照，计算1 vs 0，即女 vs 男的OR值，相同情况下，这两个OR值是倒数的关系。
设置好自变量，就可以让软件输出最终的分析结果了，如下：
2、结果的解读
（1）模型的估计结果（分析结果1）
从模型的估计与推断结果看，性别、年龄与胆固醇水平均是冠状动脉重度狭窄的影响因素，如性别（男 vs 女），$OR=8.18, P \lt 0.001$，表明胸痛患者中，男性发生冠脉重度狭窄的风险远高于女性。
注：
OR，Odds Ratio，比值比或称优势比，其计算方法，对于以下资料（四格表）：
重度狭窄 无重度狭窄 男性 1219(a) 350(b) 女性 271(c) 481(d) OR定义为 $\frac{a/b}{c/d}$，如果男性与女性人群中，重度狭窄的发生率均很低（即a<<b，c<<d），那么男性与女性重度狭窄的相对风险RR(Relative Risk，定义为$\frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$），可近似为OR，也就是在此情况下，我们可以认为OR就是RR，OR值就是不同性别患者发生冠脉重度狭窄的相对风险。
而对于重度狭窄发生率较高的情形，OR与RR相差较多，不能做近似处理，但OR>1者则必有RR>1，OR<1者则RR<1，两者意义相同；如本例样本数据，不考虑其它因素的影响，男性中冠脉重度狭窄者为77.7%，女性患者中冠脉重度狭窄者为39.3%（$\chi^2$检验显示不同性别的发生率有差异）；根据上述定义，$RR_{男 \text{vs} 女}=1.98$，$OR_{男 \text{vs} 女}=5.37$，两者相差较大，但均说明男性患者中冠脉重度狭窄的发生率较女性为高，即性别是结局（冠脉重度狭窄）的一个影响因素。
对于年龄和胆固醇这两个计量资料，我们未进行等级化编码，所以其OR值（1.076，1.009）就表示年龄或胆固醇每变化（增加）1个单位，结局的变化情况：
-
年龄每增加1岁，冠脉重度狭窄的发生率就会增加一点点（OR值=1.076，RR值比1.076低但一定>1）
-
胆固醇增加1个单位，冠脉重度狭窄的发生率就会增加一点点（OR值=1.009，RR值比1.009更低但一定>1）
此时我们的结论是确定的：年龄的增长以及胆固醇水平的升高，都将导致冠脉重度狭窄的发生率升高，因此年龄与胆固醇水平是冠脉重度狭窄的影响因素。
若将年龄和胆固醇水平转换为计数资料，如变换标准为：年龄以50岁为界，$\ge 50$者编码为1，$\lt 50$者编码为0；胆固醇水平以240为界，$\ge 240$者编码为1，$\lt 240$者编码为0；在Logistic回归模型中纳入性别、年龄（是否大于50岁）与胆固醇水平（是否为高胆固醇）这3个二分类资料（设置如下）：
可以得到如下的回归方程：
其中，年龄（是否大于50岁） 以及胆固醇水平（是否为高胆固醇）的OR值均小于1，为了与变换之前保持一致，我们可以限定OR值计算时的分子与分母：
因为年龄$\ge 50$者编码为1，$\lt 50$者编码为0；胆固醇水平$\ge 240$者编码为1，$\lt 240$者编码为0，将Reference Category设定为First（需要点击上面的Change按钮使设定生效）以后，计算OR值就以编码中较小的值为参照，也就是以0所代表的分类为分母，得到的OR值就是$OR_{年龄:1 \text{vs} 0}$以及$OR_{胆固醇:1 \text{vs} 0}$ （分析结果二）：
我们的推断：
- 胸痛患者中，男性冠脉重度狭窄的风险远高于女性（OR=7.45，P<0.001）；
- 胸痛患者中，年龄在50岁以上（含）者，冠脉重度狭窄的风险高于50岁以下者（OR=2.69，P<0.001）；
- 胸痛患者中，高胆固醇水平（定义为$\ge 240\text{mg/dL}$）者，冠脉重度狭窄的风险高于低胆固醇水平者（OR=2.46，P<0.001）；
通过以上的分析，我们可以看到，在Logistic回归分析中，主要是以OR值来解释自变量对于应变量的影响，而OR的计算，对于计数资料，需要明确谁在分母位置，通过Reference Category的设置，可以设定编码中的最小值（设置为First)为参照即分母，也可以设定编码中的最大值（设置为Last）为分母，同一样本数据，不同的设置，得到的OR值互为例数；对于计量资料，OR值就是每增加1个单位风险的变化情况，比如年龄，如果不做变换，其OR值为1.076（第1个分析中），为便于理解，该OR值可以视为如下计算过程取得：
有些患者年龄为$x+1$岁，与那些年龄为$x$岁的患者相比，冠脉重度狭窄的风险是升高了还是降低了？
| 重度狭窄 | 无重度狭窄 | |
|---|---|---|
| $x+1$ | a | b |
| $x$ | c | c |
通过$OR=\frac{a/b}{c/d}$ 即可反映，而此OR与模型中年龄的OR值意义完全相同。
（2）关于模型中自变量、应变量的编码
应变量的编码：
使用SPSS进行Logistic回归分析，在输出结果中，有两个表格表示分别表示应变量和自变量中计数资料的编码：
这个表格中，Original Value是应变量的原始值，本例中采用1（冠脉重度狭窄为是）和0（冠脉重度狭窄为否）进行编码，Internal Value是SPSS软件进行Logistic回归时，对应变量进行建模的标识，在进行Logit变换时，以Internal Value=1的分类为分子： $$ logit( \pi_{y=1} ) = ln(\frac{ \pi_{y=1} }{1- \pi_{y=1}}) $$ 也就是实际的Logistic回归方程为： $$ ln(\frac{ \pi_{是} }{1- \pi_{是}}) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_kX_k $$ 其中$\pi_{是}$ 为冠脉严重狭窄的概率。
如果将应变量的编码方式稍改一下：仍用1表示冠脉重度狭窄，而用2表示冠脉无重度狭窄，样本中的其它数据不变，则Dependent Variable Encoding表如下结果：
在SPSS进行Logistic回归分析时，logit变换仍以Internal Value=1的分类为分子，即：$logit( \pi_{y=1} ) = ln(\frac{ \pi_{y=1} }{1- \pi_{y=1}})$，而此时等于1的分类，对应的原始数据为“否”（编码为2），实际的Logistic回归方程为： $$ ln(\frac{ \pi_{否} }{1- \pi_{否}}) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_kX_k $$ 其中$\pi_{否}$ 为冠脉不是严重狭窄的概率，结果回归方程就变成了：
此结果与前面的分析结果1相比，回归系数互为相反数，而OR值互为倒数，在自变量（及编码）未变化的情况下，这种编码方式得到的结果，进行解释就要小心，不能因为年龄的OR值0.93小于1，就说随年龄增加，冠脉严重狭窄的风险在降低，实际上这个方程拟合的结果中：年龄每增加1岁，冠脉不是严重狭窄的概率就会降低一点点，也就是年龄增加冠脉严重狭窄的风险会上升。
为了避免出现上述拟合阴性事件的问题（导致结果的解释很别扭），我们一般使用1编码阳性事件，而用0编码阴性事件，一个原则：阳性事件的编码值要大于阴性事件的编码值，这样就可以拟合阳性事件的Logistic回归方程，便于我们解释各自变量对结局的影响。
自变量的编码
对于自变量的编码（当然只有计数资料存在编码问题），SPSS软件会自动的将设置为分类变量的自变量，编码为1个或多个哑变量（Dummy Variable），这些哑变量以括号结尾，括号中的数字表示第几个哑变量。哑变量的个数是分类数减1，如二分类资料会生成1个哑变量，而3分类资料会生成2个哑变量，等等。
比如：使用200、240这两个界值，将胆固醇水平的原始值，转换为3分类的等级资料：$\le 200 \text{mg/dL}$者编码为1，$\le 240 \text{mg/dL} 且 \gt 200 \text{mg/dL}$者编码为2，$\gt 240 \text{mg/dL}$者编码为3，并使用编码1对应的分类为参照（设置方法同前），SPSS软件就会自动生成2个哑变量，如下表：
Logistic回归分析中，所有设置为分类变量的自变量，哑变量编码结果，全部放置在Category Variable Codings（分类变量编码）表中，Parameter Coding中带有括号的列，就是哑变量的编码结果，与Logistic回归方程中结尾带有括号的分类变量一一对应，如下图（分析结果3）：
以胆固醇水平为例：
Logistic回归方程中，3分类的胆固醇水平，共生成两个哑变量：
胆固醇水平(1)和胆固醇水平(2)，对应的OR值分别为1.264和2.757，这两个OR值，都是以胆固醇水平等级1对应的分类（也就是胆固醇水平 $\le 200 \text{mg/dL}$者）为参照，即：
- 胆固醇水平(1)：胆固醇水平等级2和等级1相比（胆固醇水平 $\le 240 \text{mg/dL} 且 \gt 200 \text{mg/dL}$者 vs 胆固醇水平 $\le 200 \text{mg/dL}$者 ），OR=1.264（P=0.055），显示冠脉重度狭窄的风险增加但无统计学意义；
- 胆固醇水平(2)：胆固醇水平等级3和等级1相比（胆固醇水平 $\gt 240 \text{mg/dL}$者 vs 胆固醇水平 $\le 200 \text{mg/dL}$者 ），OR=2.757，冠脉重度狭窄的风险增加（P<0.001）；
如何确定计算OR时的分母（即参照）？
根据Category Variable Codings（分类变量编码）表，看Parameter Coding（带括号的，也就是哑变量）那几列：
每个分类的自变量，有且仅有1行，Parameter Coding中的哑变量编码值全部为0，比如胆固醇水平，等级1这1行，Parameter Coding中的哑变量编码值全部为0，则等级1就是参照，就算OR值都以等级1为参照；
同理：年龄这个分类变量（二分类资料，编码为1个哑变量），Parameter Coding中的哑变量编码值为0的那一行，是年龄$\ge 50$ 者，故计算出的OR值是年龄小于50者与年龄≥50者对比；
而性别，Parameter Coding中的哑变量编码值为0的那一行对应的是女性（是），故计算的OR值，是男性与女性相比，风险的变化情况。
如何确定计算OR时的分子？
根据Parameter Coding中的哑变量编码值为1的那1行来确定：
如胆固醇水平(1)这个哑变量，我们已经确定OR的分母是胆固醇等级1，而分子，就是Parameter Coding中(1)取值1的那1行，即胆固醇等级2；胆固醇水平(2)这个哑变量，就是Parameter Coding中(2)取值1的那1行，即胆固醇等级3，其它的分类变量以此类推：
正确的认识OR值的分子与分母，才能正确地解释OR的实际含义，否则就很容易出错。
这一节内容有点偏多，先写到这。本节，我们了解了Logistic回归如何操作，如何利用OR值来解释自变量对结局的影响，而OR值的计算，受Logistic回归拟合的事件，以及自变量中分类变量如何编码的影响，故重点介绍了应变量如何编码、自变量如何编码，莫要搞错，搞错出笑话。
其他内容，如Logistic回归模型的评价、模型的诊断等，我们将放在另一节中进行介绍。
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